pertanian budidaya: Persamaan Gerak Benda Dua Dimensi, Parabola, Melingkar, Vektor, Kecepatan, Percepatan

Artikel dan Makalah tentang Persamaan Gerak Benda Dua Dimensi, Parabola, Melingkar, Vektor, Kecepatan, Percepatan - Pada bab ini, Anda akan diajak untuk dapat menganalisis gejala alam dan keteraturannya dalam cakupan mekanika benda titik dengan cara menganalisis gerak lurus, gerak melingkar, dan gerak parabola dengan menggunakan vektor. Pernahkah Anda menjentikkan uang logam dengan jari Anda? Jika Anda pernah melakukannya dan dapat mengamati bentuk lintasan yang dibentuk saat uang logam itu bergerak, Anda akan dapat melihat bahwa lintasan tersebut berbentuk parabola. Bentuk lintasan uang logam yang berbentuk parabola tersebut dapat difoto menggunakan stroboscope, seperti terlihat pada gambar. Di Kelas X, Anda telah mempelajari gerak lurus dan gerak melingkar. Dalam materi bab ini, Anda akan mempelajari tentang gerak secara keseluruhan, yaitu gerak lurus, gerak parabola, dan gerak melingkar dengan menggunakan analisis vektor, perhitungan diferensial, dan integral. Setelah mempelajari materi bab ini, Anda akan memahami bahwa gerak parabola dapat dianalisis melalui perpaduan antara gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) yang arahnya saling tegak lurus. Dapatkah Anda menyebutkan contoh-contoh gerak keseharian lain yang lintasannya berbentuk parabola?

A. Persamaan Gerak Benda

Apakah yang dimaksud dengan gerak? Banyak definisi telah dikemukakan oleh para ilmuwan untuk mendeskripsikan gerak. Namun, secara Fisika Anda dapat menyatakan bahwa gerak ditentukan karena adanya kelajuan, kecepatan, dan percepatan benda. Seluruh kajian tentang gerak benda yang Anda pelajari akan berhubungan dengan kedudukan benda, kecepatan, percepatan, dan waktu. Dalam membahas tentang gerak benda, seringkali benda dimisalkan sebagai partikel atau benda titik, yaitu benda yang ukurannya diabaikan dan memiliki massa tetap (konstan). Hal ini dimaksudkan untuk memudahkan dalam mempelajari gerak benda tersebut. Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang gerak lurus dan gerak melingkar, serta hubungan antara gaya dan percepatan. Dalam bab ini, Anda akan mempelajari materi tentang gerak dengan lebih dalam menggunakan perhitungan vektor, diferensial, dan integral.

1. Vektor Posisi

Di Kelas X, Anda telah mempelajari bahwa besaran dalam Fisika digolongkan ke dalam dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Bandingkanlah kedua pernyataan berikut. Mobil Ali bergerak dengan kecepatan 60 km/jam ke utara. Mobil Budi bergerak dengan kelajuan 60 km/jam. Manakah dari dua pernyataan tersebut yang merupakan besaran vektor? Kecepatan memiliki besar dan arah sehingga disebut sebagai besaran vektor, sedangkan kelajuan hanya memiliki besar saja sehingga disebut sebagai besaran skalar. Apabila benda dianggap sebagai benda titik, atau partikel, posisi benda tersebut pada suatu bidang dapat dinyatakan dengan vektor posisi r, yaitu sebuah vektor yang ditarik dari titik asal sampai ke posisi titik tersebut berada. Vektor posisi r suatu partikel pada bidang xy dapat dinyatakan sebagai berikut.

r = xi + yj (1–1)

dengan (x, y) adalah koordinat partikel, sementara i dan j adalah vektor satuan yang menyatakan arah pada sumbu-x dan sumbu-y. Vektor satuan memiliki nilai 1 satuan.

Gambar 1. Vektor satuan i pada arah sumbu-x dan vektor satuan j pada arah sumbu-y.

Gambar 2. Posisi titik A dinyatakan dalam vektor posisi dengan rA = xi + yj .

Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah Gambar 3. berikut.

Gambar 3. Posisi titik A apabila dinyatakan dalam vektor posisi rA=(5i + 3j) cm.

Posisi partikel A di bidang xy adalah pada x = 5 cm dan y = 3 cm, atau pada koordinat (5, 3). Vektor posisi partikel A dinyatakan sebagai berikut :

r_A = x_Ai + y_Aj = (5i + 3j) cm.

2. Perpindahan

Perpindahan adalah perubahan posisi (kedudukan) suatu benda dalam waktu tertentu. Sebuah partikel berpindah dari titik P ke titik Q menurut lintasan kurva PQ, seperti pada Gambar 4.

Garis putus-putus menyatakan lintasan partikel. Perpindahan posisi partikel dari posisi awal di titik P ke posisi titik Q dinyatakan dengan Δr..

Gambar 4. Garis putus-putus menyatakan lintasan partikel. Perpindahan posisi partikel dari posisi awal di titik P ke posisi titik Q dinyatakan dengan Δr..

Apabila posisi titik P dinyatakan sebagai r_P dan posisi titik Q dinyatakan sebagai r_Q maka perpindahan yang terjadi dari titik P ke titik Q tersebut adalah vektor Δ r, yaitu :

Δr = r_Q– r_P (1–2)

Persamaan (1–2) jika diubah dalam kalimat dapat dinyatakan bahwa perpindahan suatu benda sama dengan posisi akhir benda dikurangi posisi awal.

Bagaimanakah cara menentukan besar perpindahan yang dilakukan oleh partikel tersebut? Setiap benda membutuhkan waktu untuk berpindah atau mengubah kedudukannya. Dalam kasus perpindahan tersebut, pada saat t = t₁, partikel berada di titik P dengan vektor posisinya r_P. Pada saat t = t₂, partikel berada di titik Q dengan vektor posisinya r_Q.

Kemudian, apabila r_P= (x_Pi + y_Pj) dan r_Q = (x_Qi + y_Qj), Persamaan (1–2) dapat dituliskan menjadi r_PQ = (x_Qi + y_Qj) – (x_Pi + y_Pj) = (x_Q – x_P)i + (y_Q – y_P)j.

Apabila x_Q – x_P = Δx dan y_Q – y_P = Δy, serta perpindahan yang dilakukan partikel r_PQ dinyatakan sebagai Δr, Persamaan (1–2) berubah menjadi :

Δr = Δxi + Δyj (1–3)

Oleh karena besar perpindahan partikel Δr sama dengan panjang vektor Δr maka dapat dituliskan :

$\left | \Delta r \right |=\sqrt{\left ( \Delta x \right )^{2}+\left ( \Delta y \right )^{2}}$

Arah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x. Perhatikanlah Gambar 5 berikut.

Gambar 5. Perpindahan vektor Δ r menurut sumbu-x adalah sebesar Δ x dan menurut sumbu-y sebesar Δ y.

Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x adalah θ , arah perpindahan vektor Δr dinyatakan sebagai :

$tan\theta=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Contoh Soal 1 :

Sebuah titik materi bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor perpindahan tersebut.

Kunci Jawaban :

Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11, 8). Vektor posisi di titik P (r_P) dan vektor posisi di titik Q (r_Q) adalah :

r_P = 3i + 2j

r_Q = 11i + 8j

Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut :

Δr = r_Q – r_P = (11i + 8j) – (3i + 2j)

Δr = 8i + 6j

Besar vektor Δr adalah :

$\left | \Delta r \right |=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10\: satuan$

Arah perpindahan vektor itu adalah :

tanθ = Δy / Δx = 6/8 = 3/4

sehingga θ = 37°

Jadi, vektor perpindahan adalah Δr = 8i + 6j, panjang perpindahannya 10 satuan, dan sudut arah perpindahannya 37° terhadap arah sumbu-x positif. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah gambar berikut.

3. Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat

Secara matematis, kecepatan didefinisikan sebagai perubahan posisi per satuan waktu. Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang kecepatan yang terbagi atas kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Sekarang, Anda akan membahas analisis mengenai kedua jenis kecepatan tersebut ditinjau dari perhitungan vektor.

a. Kecepatan Rata-Rata

Perhatikanlah Gambar 6. Posisi benda di titik P pada saat t dinyatakan sebagai r. Kemudian, benda tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauh Δr sehingga pada saat t + Δt, benda berada di titik Q dengan posisi r + Δr.

Gambar 6. Sebuah benda berpindah secara linear dari titik P ke titik Q.

Berdasarkan Persamaan (1–3) dapat dituliskan perpindahan posisi benda adalah sebagai berikut.

Δr = (r + Δr) – r

Berdasarkan definisi matematis kecepatan, dapat dituliskan

$\overline{v}=\frac{\left ( r+\Delta r \right )-r}{\left ( t+\Delta t \right )-t}=\frac{\Delta r}{\Delta t}$ (1-6)

dengan :

$\overline{v}\: \: \: atau\: \: \: \: \frac{\Delta r}{\Delta t}$

disebut kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-x dan sumbu-y dapat dicari dengan cara memasukkan nilai Δr dari Persamaan (1–3) sebagai berikut.

$\overline{v}=\frac{\Delta xi+\Delta yi}{\Delta t}=\frac{\Delta x}{\Delta t}i+\frac{\Delta y}{\Delta t}j$ (1–7)

Perhatikanlah Gambar 7. Gambar tersebut menunjukkan grafik perpindahan benda dari titik P ke titik Q menurut sumbu-x.

Apabila gerak benda hanya pada arah sumbu-x maka kecepatan rata-rata benda v x adalah kemiringan garis yang menghubungkan titik P dengan titik Q, yaitu

Gambar 7. Apabila gerak benda hanya pada arah sumbu-x maka kecepatan rata-rata benda v x adalah kemiringan garis yang menghubungkan titik P dengan titik Q, yaitu Δx/Δt

Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa selama selang waktu Δt, benda berpindah sejauh Δx. Oleh karena itu, kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-x, yaitu Δx/Δt dituliskan dengan lambang, $\overline{v}_{x}$ . Apabila benda tersebut juga berpindah menurut sumbu-y, kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-y, yaitu Δy/Δt. dituliskan dengan lambang $\overline{v}_{y}$ .Dengan demikian, kecepatan rata-rata sebuah benda pada bidang xy dapat dituliskan sebagai berikut :

$\overline{v}=\frac{\Delta r}{\Delta t}=\overline{v}_{x}i+\overline{v}_{x}j$ (1–8)

Besar kecepatan rata-rata benda dapat dihitung menggunakan persamaan berikut.

$\left |\overline{v} \right |=\sqrt{\overline{v}_{x}\: ^{2}+\overline{v}_{y}\: ^{2}}$ (1–9)

b. Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitung kecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu yang sangat singkat atau Δt mendekati nol. Penulisannya secara matematis adalah sebagai berikut.

$v=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\overline{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}$ (1–10)

Perhatikanlah Gambar 8. berikut.

Gambar 8. Grafik x terhadap t untuk selang waktu Δt yang semakin kecil.

Dari gambar tersebut, dapat Anda lihat bahwa kemiringan garis yang menyatakan kecepatan rata-rata suatu benda akan semakin curam apabila selang waktu perpindahannya semakin kecil. Oleh karena itu, kecepatan sesaat dapat didefinisikan sebagai kemiringan garis tangensial pada titik P, yaitu turunan posisi terhadap waktu.

Pada Gambar 8, kecepatan sesaatnya secara matematis dituliskan sebagai berikut.

$v=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}$ (1–11)

Dalam kajian vektor, kecepatan sesaat benda yang bergerak menurut sumbu-x dan sumbu-y dinyatakan sebagai berikut.

$v=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{dr}{dt}=\frac{dx}{dt}i+\frac{dx}{dt}j$ (1–12)

Oleh karena dx/dt = vx dan dyx/dt = vy maka Persamaan (1–12) dapat dituliskan menjadi :

v = v_xi + v_yj (1–13)

Besarnya kecepatan sesaat atau kelajuan rata-rata benda dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut.

$\left |v \right |=\sqrt{v_{x}\:^{2}+v_{y}\:^{2}}$ (1–14)

Perhatikanlah Gambar 9. Dari grafik kecepatan terhadap waktu benda di titik P yang memiliki kecepatan v, arah kecepatan benda di titik tersebut terhadap sumbu-x dinyatakan dengan θ .

Gambar 9. Arah percepatan v di titik P terhadap sumbu-x positif.

Besar θ secara matematis, dapat diperoleh sebagai berikut :

$tan\theta =\frac{v_{y}}{v_{x}}$ (1–15)

dengan: v_x = v cosθ, dan v_y = v sinθ.

Catatan Fisika :

dr/dt, dx/dt, dan dy/dt disebut fungsi turunan posisi (r, x, atau y) terhadap waktu t.

Rumus fungsi turunan:

$r=at^{n}\rightarrow \frac{dr}{dt}=nat^{n-1}$

contoh:

$r=3t^{4}\rightarrow \frac{dr}{dt}=\left ( 4 \right )\left ( 3 \right )t^{4-1}=12t^{3}$

Catatan Fisika :

Pada buku ini, besaran vektor ditulis dengan huruf tebal dan miring, contohnya: r, v, a. Adapun, vektor satuan ditulis dengan huruf tebal dan tegak, contohnya: i, j, dan k.

Contoh Soal 2 :

Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang dengan sumbu koordinat x dan y. Posisi partikel berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah:

a. perpindahan partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon;

b. besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon;

c. besar dan arah kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon.

Kunci Jawaban :

Diketahui: vektor posisi partikel, yaitu r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j.

a. t₁ = 0 sekon adalah r₁ = [6 + (3)(0)]i + [8 + (4)(0)]j = (6i + 8j) meter.

t₂ = 2 sekon adalah r₂ = [6 + (3)(2)]i + [8 + (4)(2)]j = (12i + 16j) meter.

Perpindahan partikel dari t₁ = 0 sekon hingga t₂ = 2 sekon adalah :

Δr = r₂ – r₁= (12i + 16j) – (6i + 8j) = (6i + 8j) meter

Besar vektor Δr adalah :

$\Delta r=\left | \Delta r \right |=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10\: m$

b. Kecepatan rata-rata partikel adalah :

$\overline{v}=\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{6i+8j}{2-0}=\left ( 3i+4j \right )\: m/s$

Besar kecepatan rata-rata partikel adalah :

$\left |\overline{v} \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\: m/s$

Vektor kecepatan partikel sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut.

vx = dx/dt = d/dt (6 + 3t) = 3 m/s

vy = dy/dt = d/dt (8 + 4t) = 4 m/s

Dengan demikian, diperoleh vektor kecepatan sesaat partikel adalah :

v = vxi + vyj = (3i + 4j) m/s.

Besar kecepatan sesaat partikel adalah :

$\left |v \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\: m/s$

Arah vektor kecepatan sesaat terhadap sumbu-x adalah θ dengan :

tanθ = vy/vx = 4/3

θ = 53°.

Contoh Soal 3 :

Perhatikan grafik kedudukan (x) terhadap waktu (t) berikut.

Tentukanlah kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu:

a. antara t = 0 sampai t = 3 s;

b. antara t = 3 sampai t = 8 s; dan

c. antara t = 8 sampai t = 12 s.

Kunci Jawaban :

Diketahui: grafik x–t dan kecepatan rata-rata adalah :

$v=\frac{\Delta xi}{\Delta t}$

a. Kecepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 3 s adalah :

$\overline{v}=\frac{\left ( 12-0 \right )im}{\left ( 3-0 \right )s}=4i\: m/s$

b. Kecepatan rata-rata benda antara t = 3 sampai t = 8 s adalah :

$\overline{v}=\frac{\left ( 12-12 \right )im}{\left ( 8-3 \right )s}=0i\: m/s$

c. Kecepatan rata-rata benda antara t = 8 sampai t = 12 s adalah :

$\overline{v}=\frac{\left ( 0-12 \right )im}{\left ( 12-8 \right )s}=-3i\: m/s$

Tokoh Fisika :

Galileo Galilei

(1564–1642)

Galileo lahir di Pisa, Italia. Pada umur 19 tahun, ia mempelajari matematika dan mengembangkan penelitiannya tentang gerak mekanik, terutama mengenai gerak di bidang miring, gerak pendulum, dan gerak jatuh bebas. Saat mengajar di Universitas Padua, ia menjadi penyokong teori Copernicus mengenai sistem Matahari, yang bertentangan dengan teori yang diakui saat itu. Saat menerbitkan karyanya, ia disidang untuk menyangkal hasil penelitiannya, namun ia tetap yakin dengan penelitiannya dan tidak mau menyerah. Setelah ia dijatuhi hukuman tahanan rumah, ia meninggal pada umur 78 tahun. Walaupun begitu, ia menyelesaikan penelitiannya mengenai gerak. Karya tulisnya, kemudian diselundupkan dari Italia dan diterbitkan di Belanda. (Sumber: www.hao.ucar.edu).

4. Menetukan Posisi dari Fungsi Kecepatan

Fungsi posisi suatu benda, yaitu koordinat benda (x, y) dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan persamaan kecepatan benda sebagai fungsi waktu.

Dalam arah sumbu-x, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut.

v_x = dy/dt atau dy = v_xdt

Posisi x ditentukan dengan :

$\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{0}^{t}v_{x}dt\Rightarrow x-x_{0}=\int_{0}^{t}v_{x}dt$

$x=x_{0}+\int_{0}^{t}v_{x}dt$

Dalam arah sumbu-y, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut.

v_y = dy/dt atau dy = v_ydt

Posisi y ditentukan dengan :

$\int_{y_{0}}^{y}dy=\int_{0}^{t}v_{y}dt\Rightarrow y-y_{0}=\int_{0}^{t}v_{y}dt$

$y=y_{0}+\int_{0}^{t}v_{y}dt$

(x₀, y₀) menyatakan koordinat posisi awal benda, sedangkan (x, y) menyatakan koordinat posisi benda setelah bergerak dalam selang waktu t.

Apabila dituliskan dalam bentuk vektor, posisi benda dapat dituliskan sebagai berikut :

r = xi + yj

$r=\left ( x_{0}+\int_{0}^{t}v_{x}dt \right )i+\left ( y_{0}+\int_{0}^{t}v_{y}dt \right )j$ (1–16)

atau

$r=r_{0}+\int v\: dt$ (1–17)

Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Dengan demikian, posisi benda dapat ditentukan dengan metode grafik sebagai berikut. Apabila kecepatan sebuah benda dinyatakan dengan persamaan v_x = 2t + 5, posisi benda adalah :

$x=\int_{0}^{t}\left ( 2t+5 \right )dt=\int_{0}^{t}2t\: dt+\int_{0}^{t}5\: dt=t^{2}+5t\: \mid _{0}^{t}$

Misalkan, batas integral adalah dari t = 0 sampai dengan t = 2. Dengan memasukkan nilai batas integral, didapatkan perpindahan benda adalah :

$x=t^{2}+5t\: \mid _{0}^{2}=\left [ 2^{2}+\left ( 5 \right )\left ( 2 \right ) \right ]-\left [ 0^{2}+\left ( 5 \right )\left ( 2 \right ) \right ]=14$

Cara lain untuk menentukan perpindahan benda adalah dengan menghitung luas daerah di bawah kurva v(t).

Gambar 10. Luas daerah yang diarsir menyatakan besar perpindahan yang dilakukan benda dalam selang waktu t = 0 sampai dengan t = 2.

Contoh Soal 4 :

Sebuah mobil dengan kecepatan 36 km/jam direm mendadak sehingga terbentuk bekas di jalan sepanjang 20 m. Waktu pengereman yang dibutuhkan sampai mobil tersebut berhenti adalah ....

a. 2 s

b. 4 s

c. 6 s

d. 8 s

e. 10 s

Kunci Jawaban :

Diketahui:

v₀ = 36 km/jam = 10 m/s

Δr = luas segitiga

maka,

20 = (½) (t) (10)

t = 4 s

Jawab: d

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar perpindahan benda sama dengan luas di bawah kurva kecepatan sebagai fungsi waktu v(t). Secara matematis dituliskan sebagai berikut.

$\Delta r=\int v\: dt$

Contoh Soal 5 :

Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada posisi awal, benda berada pada koordinat (3,2) m. Komponen-komponen kecepatan benda memenuhi persamaan vx = 12 + 4t dan vy = 9 + 3t dengan vx dan vy dalam m/s, dan t dalam sekon.

Tentukanlah:

a. persamaan umum vektor posisi benda,

b. posisi benda pada saat t = 3 sekon, dan

c. perpindahan benda antara t = 1 sekon dan t = 3 sekon.

Kunci Jawaban :

Diketahui: posisi awal benda (3, 2) m, v_x = 12 + 4t, dan v_y = 9 + 3t.

a. Posisi awal benda (3,2) m maka x₀ = 3 m dan y₀ = 2 m. Dengan demikian, diperoleh :

$r=\left ( x_{0}+\int_{0}^{t}+v_{x}\: dt \right )i\: +\: \left ( y_{0}+\int_{0}^{t}+v_{y}\: dt \right )j$

$r=\left [ 3+\int_{0}^{t}+\left ( 12+4t \right ) \right ]i\: +\: \left [ 2+\int_{0}^{t}\left ( 9+3t \right ) \right ]j$

r = (3 + 12t + 2t²)i + (2 + 9t + 3/2 t²)j

b. Posisi benda pada saat t = 3 sekon adalah :

x = 3 + (12) (3) + (2) (3²) = 57 m

y = 2 + (9) (3) + (3/2) (3²) = 42,5 m

Jadi, pada saat t = 3 sekon vektor posisi benda dapat dituliskan sebagai

r = (57i + 42,5j ) meter.

c. Pada t₁ = 1 sekon maka r₁ = [3 + (12)(1) + (2)(1²)]i + [2 + (9)(1) + (3/2 )(1²)]j = (17i + 12,5j) meter

Pada t₂ = 3 sekon maka r₂ = [3 + (12)(3) + (2)(3²)]i + [2 + (9)(3) + (3/2)(3²)]j = (57i + 42,5j) meter

Perpindahan partikel dari t1 = 1 sekon hingga t2 = 3 sekon adalah

Δr = r₂ – r₁ = (57i + 42,5j) – (17i + 12,5j) = (40i + 30j) meter

Besar vektor Δr adalah :

$\left | \Delta r \right |=\sqrt{40^{2}+30^{2}}=\sqrt{2.500}=50\: meter$

Foto dari sebuah apel yang dijatuhkan. Gambar diambil sebanyak 60 kali setiap sekon agar percepatannya dapat diamati. Percepatan apel ditandai dengan jarak antartitik apel yang semakin besar di bagian bawah foto.

Gambar 11. Foto dari sebuah apel yang dijatuhkan. Gambar diambil sebanyak 60 kali setiap sekon agar percepatannya dapat diamati. Percepatan apel ditandai dengan jarak antartitik apel yang semakin besar di bagian bawah foto.

5. Percepatan Rata-Rata dan Percepatan Sesaat

Percepatan adalah perubahan kecepatan per satuan waktu. Perubahan kecepatan per satuan waktu yang bernilai positif disebut percepatan, sedangkan yang bernilai negatif disebut perlambatan. Sebagaimana halnya dengan kecepatan, pembahasan percepatan juga terbagi atas dua, yaitu percepatan rata-rata dan percepatan sesaat.

a. Percepatan Rata-Rata

Perhatikanlah Gambar 12.

Gambar 12. Grafik percepatan.

Grfaik kecepatan terhadap waktu pada gambar tersebut menyatakan gerak benda yang berpindah dengan kecepatan tertentu setiap saatnya. Apabila pada saat t kecepatan benda adalah v dan pada saat t +Δt kecepatannya v + Δv, percepatan rata-rata benda tersebut (ā) dinyatakan sebagai berikut.

$\overline{a}=\frac{\left (v+\Delta v \right )-v}{\left (t+\Delta t \right )-t}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ (1–19)

Penulisan Persamaan (1–19) dalam bentuk vektor dalam arah sumbu-x dan sumbu-y adalah sebagai berikut.

$\overline{a}=\frac{\Delta v_{x}i\: +\: \Delta v_{y}j}{\Delta t}=\frac{\Delta v_{x}}{\Delta t}i\: +\: \frac{\Delta v_{y}}{\Delta t}j$ (1–20)

Oleh karena :

$\Delta v_{x}=\overline{a}_{x}\: \: \: dan \: \: \: \Delta v_{y}=\overline{a}_{y}$

Persamaan (1–20) dapat ditulis menjadi :

$\overline{a}=\overline{a}_{x}i\: +\: \overline{a}_{y}i$ (1–21)

Besar percepatan rata-rata dinyatakan sebagai :

$\left |\overline{a} \right |=\sqrt{\overline{a}_{x}^{2}+\overline{a}_{y}^{2}}$ (1–22)

Arah percepatan rata-rata dapat dituliskan sebagai berikut.

$tan\theta =\frac{\overline{a}_{y}}{\overline{a}_{x}}$ (1–23)

b. Percepatan Sesaat

Percepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt yang sangat kecil atau mendekati nol. Secara matematis, persamaannya dituliskan sebagai berikut.

$a= \lim_{\Delta t-0}\overline{a}=\lim_{\Delta t-0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}$ (1–24)

Apabila vektornya disesuaikan menurut arah sumbu-x dan sumbu-y, Persamaan (1–24) berubah menjadi :

$a= \frac{dv_{x}}{dt}i\: +\: \frac{dv_{y}}{dt}j\: +\: a_{x}i\: +\: a_{y}j$ (1–26)

Oleh karena v = dr/dt maka Persamaan (1–25) dapat dituliskan sebagai berikut :

$a= \frac{dv}{dt}\: +\: \frac{d}{dt}\left ( \frac{dr}{dt}\right )=\frac{d^{2}r}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt}i\: +\: \frac{d^{2}y}{dt}j$

Catatan Fisika :

Jatuh Bebas

percobaannya galileo dengan mengukur waktu tempuh bola

Dahulu orang percaya pada gagasan Aristoteles mengenai benda jatuh, yaitu benda yang lebih berat akan lebih dulu mencapai tanah dibandingkan benda yang lebih ringan. Melalui percobaannya dengan mengukur waktu tempuh bola-bola yang digelindingkan pada suatu bidang miring, Galileo membantah gagasan Aristoteles tersebut. Dari hasil percobaannya, Galileo berkesimpulan bahwa waktu yang dibutuhkan kedua benda jatuh untuk mencapai tanah adalah sama. (Sumber: Jendela Iptek, 1997)

Contoh Soal 6 :

Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan v(t) = 2t² – 3t + 10 jika v dinyatakan dalam m/s dan t dalam sekon, tentukanlah:

a. percepatan rata-rata partikel untuk selang waktu t = 2 sekon sampai t = 4 sekon,

b. percepatan awal partikel, dan

c. percepatan partikel pada saat t = 6 sekon.

Kunci Jawaban :

Diketahui: v(t) = 2t² – 3t + 10.

a. Untuk menghitung percepatan rata-rata, tentukan lebih dahulu Δv dan Δt sebagai berikut.

Persamaan umum kecepatan adalah v(t) = 2t² – 3t + 10 sehingga :

untuk t₂ = 4 sekon, v₂ = 2(4)² – 3(4) + 10 = 30 m/s

untuk t₁ = 2 sekon, v₁ = 2(2)² – 3(2) + 10 = 12 m/s

Diperoleh :

$\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}=\frac{30-12}{4-2}=9\: m/s^{2}$

b. Persamaan umum percepatan sesaat diperoleh sebagai turunan pertama dari fungsi kecepatan, yaitu:

Percepatan awal partikel adalah percepatan pada t = 0 sehingga :

a = 4(0) – 3 = –3 m/m².

c. Percepatan partikel pada saat t = 6 sekon adalah

a = 4(6) – 3 = 21 m/m².

Contoh Soal 7 :

Sebuah mobil bergerak dengan grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t) seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

Tentukanlah:

a. percepatan rata-rata benda antara t = 0 sekon sampai t = 4 sekon, dan

b. percepatan rata-rata benda antara t = 4 sekon sampai t = 8 sekon

Kunci Jawaban :

Diketahui: grafik v – t.

a. Percepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 4 sekon, yaitu :

$\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}=\frac{8-2}{4-0}=1,5\: m/s^{2}$

b. Percepatan rata-rata benda antara t = 4 sampai t = 8 sekon, yaitu :

$\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}=\frac{0-8}{8-4}=-2\: m/s^{2}$

6. Menentukan Kecepatan dari Fungsi Percepatan

Fungsi kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode integral, yaitu :

$v=v_{0}\: +\: \int_{0}^{t}a\: dt$

atau :

$v=\left ( v_{ox}\: +\: \int a_{x}\: dt \right )i+\left ( v_{oy}+\int a_{y}\: dt \right )j$

Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Metode yang digunakan untuk memeroleh nilai kecepatan dari fungsi percepatan dapat dilakukan dengan analogi pada cara untuk mendapatkan nilai perpindahan dari fungsi kecepatan. Perhatikan Gambar 13. Kecepatan partikel secara grafik dapat ditentukan sebagai berikut.

Gambar 13. Luas daerah yang diarsir menyatakan besar kecepatan yang dilakukan benda dalam selang waktu t.

Besar kecepatan = luas daerah di bawah kurva a (t)

Contoh Soal 8 :

Sebuah benda bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s. Jika benda mengalami percepatan a (t) = (4t –2) m/s², tentukanlah:

a. persamaan kecepatan benda, dan

b. kecepatan benda pada t = 2 sekon.

Kunci Jawaban :

Diketahui: vo = 3 m/s dan a(t) = (4t – 2) m/s².

a. Kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode integral.

v = v0 + ∫ a dt = 3 + ∫ (4t – 2) dt = (3 + 2t² – 2t) m/s².

b. Kecepatan benda pada saat t = 2 sekon adalah

v = 3 + (2)(2)t² – (2)(2) = 7 m/s.

7. Gerak Lurus Beraturan dan Gerak Lurus Berubah Beraturan

Di Kelas X, Anda telah mengenal dan mempelajari dua jenis gerak lurus, yaitu gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Pada gerak lurus beraturan, kecepatan gerak benda tetap dan percepatan benda sama dengan nol. Persamaan geraknya diperoleh melalui persamaan:

$v=\frac{ds}{dt}\Rightarrow ds=v\: dt\Rightarrow \int_{s_{0}}^{s}ds=\int_{t_{0}}^{t}v\: dt$

Pada GLB, nilai v tetap dan tidak bergantung pada waktu sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi:

s = s₀ + vt (1–28)

dengan s₀ merupakan jarak tempuh benda pada saat t = 0.

Pada gerak lurus berubah beraturan (GLBB), benda bergerak dengan percepatan tetap. Persamaan geraknya diperoleh melalui :

$a=\frac{dv}{dt}\Rightarrow dv=a\: dt\Rightarrow \int_{v_{0}}^{v_{t}}dv=\int_{0}^{t}a\: dt$

Pada GLBB, nilai a tetap dan tidak bergantung waktu sehingga persamaan dapat dituliskan menjadi :

$\int_{v_{0}}^{v_{t}}dv=a\int_{0}^{t}dt\Rightarrow v_{t}-v_{0}=at$

Dengan demikian, diperoleh persamaan sebagai berikut.

v_t = v₀+ at (1–29)

atau,

$t=\frac{v_{t}-v_{0}}{a}$ (1–30)

Apabila Persamaan (1–29) diintegralkan, akan diperoleh jarak tempuh benda, yaitu :

$v\left ( t \right )=\frac{ds}{dt}\Rightarrow ds=v\left ( t \right )dt$

Oleh karena v(t) = v0 + at maka :

$\int_{s_{0}}^{s}ds=\int_{0}^{t}v\left ( t \right )dt=\int_{0}^{t}\left ( v_{0}+at \right )dt$

$s-s_{0}=\int_{0}^{t}v_{0}\: dt\: +\: \left ( at \right )dt=v_{0}\int_{0}^{t}dt\: +\: a\int_{0}^{t}t\: dt$

$s-s_{0}=s_{0}\: +\: v_{0}t\: +\: \frac{1}{2}at^{2}$ (1–31)

Jika s₀ = 0, akan diperoleh persamaan :

$s-s_{0}=v_{0}t\: +\: \frac{1}{2}at^{2}$

Kemudian, jika Persamaan (1–30) disubstitusikan ke Persamaan (1–32) diperoleh :

$s=v_{0}\left ( \frac{v_{t}-v_{0}}{a} \right )\: +\: \frac{1}{2}a\left ( \frac{v_{t}-v_{0}}{a} \right )^{2}$

$s=\left ( \frac{v_{0}v_{t}-v_{0}\: ^{2}}{a} \right )\: +\: \frac{1}{2}a\left ( \frac{v_{t}\: ^{2}-2v_{t}v_{0}-v_{0}^{2}}{a} \right )$

$2s=2\left ( \frac{v_{0}v_{t}-v_{0}\: ^{2}}{a} \right )\: +\: \left ( \frac{v_{t}\: ^{2}-2v_{t}v_{0}-v_{0}^{2}}{a} \right )$

2as = 2v₀ v_t – 2v₀²+ v_t² – 2v₀v_t + v₀²

v_t² = v₀²+ 2as (1–33)

Contoh Soal 9 :

Besar kecepatan suatu partikel yang mengalami perlambatan konstan ternyata berubah dari 30 m/s menjadi 15 m/s setelah menempuh jarak sejauh 75 m. Setelah menempuh jarak berapa lagi partikel tersebut berhenti?

Kunci Jawaban :

Diketahui: v₀ = 30 m/s, v_t1 = 15 m/s, v_t2 = 0 m/s, dan s = 75 m

kecepatan suatu partikel yang mengalami perlambatan konstan

$a=\frac{v_{t1}\: ^{2}-v_{0}\: ^{2}}{2s_{1}}=\frac{15^{2}-30^{2}}{2\left ( 75 \right )}=-4,5\: m/s^{2}$

$s_{2}=\frac{v_{t2}\: ^{2}-v_{t1}\: ^{2}}{2a}=\frac{0^{2}-15^{2}}{2\left (-4,5 \right )}=25\: m$

B. Gerak Parabola

Perhatikanlah lintasan yang dibentuk oleh bola basket yang dilemparkan ke dalam ring pada Gambar 14.

Gambar 14. Lintasan bola basket saat dilemparkan ke dalam ring akan berbentuk parabola.

Lintasan bola basket tersebut berbentuk parabola. Gerak yang lintasannya berbentuk parabola disebut gerak parabola. Contoh umum gerak parabola adalah gerak benda yang dilemparkan ke atas membentuk sudut tertentu terhadap permukaan tanah. Gerak parabola dapat dipandang dalam dua arah, yaitu arah vertikal (sumbu-y) yang merupakan gerak lurus berubah beraturan (GLBB), dan arah horizontal (sumbu-x) yang merupakan gerak lurus beraturan (GLB). Perhatikan Gambar 15. berikut.

Gambar 15. Arah gaya pada lintasan gerak parabola.

Gerak pada sumbu-x (horizontal) adalah gerak lurus beraturan karena kecepatan benda di setiap titik bernilai konstan dan berlaku persamaan

v_x = v₀x = v₀ cosα (1–34)

Adapun, jarak mendatar yang ditempuh oleh sebuah benda ditentukan oleh persamaan :

x = v_x t = v₀cosα t (1–35)

Gerak pada sumbu-y (vertikal) adalah gerak lurus berubah beraturan, karena benda mengalami perubahan kecepatan akibat percepatan gravitasi Bumi. Dalam hal ini, arah gerak benda vertikal ke atas sehingga persamaan kecepatan geraknya pada setiap titik adalah :

v_y = v_0y– gt (1–36)

oleh karena v_0y = v₀ sinα , Persamaan (1–36) dapat dituliskan menjadi :

vy = v0 sinα – gt (1–37)

Posisi benda pada sumbu-y (menurut ketinggian) dapat dituliskan dengan persamaan berikut :

$y=v_{oy}t\: -\: \frac{1}{2}gt^{2}$ (1–38)

atau :

$y=v_{0}\: sin\alpha \: t\: -\: \frac{1}{2}gt^{2}$ (1–39)

1. Kecepatan dan Arah Kecepatan Benda di Sembarang Titik

Pada gerak parabola, benda memiliki kecepatan pada komponen sumbu-x dan sumbu-y sehingga besar kecepatan benda di sembarang titik secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

$v=\sqrt{v_{x}\: ^{2}+v_{y}\: ^{2}}$ (1–40)

Arah kecepatan benda terhadap sumbu mendatar (sumbu-x) dirumuskan sebagai berikut.

$tan\theta =\frac{v_{y}}{v_{x}}$ (1–41)

Oleh karena nilai v_x selalu positif maka positif atau negatifnya sudut θ bergantung pada nilai v_y.

2. Beberapa Persamaan Khusus pada Gerak Parabola

Persamaan-persamaan khusus gerak parabola ini hanya berlaku untuk gerak parabola dengan lintasan dari tanah, kemudian kembali lagi ke tanah seperti pada Gambar 16.

Gambar 16. Lintasan gerak parabola benda dengan titik tertinggi di B dan titik terjauh di C.

Pada contoh gerak parabola tersebut, suatu benda bergerak dari titik A dengan kecepatan awal v0 dan sudut θ . Benda tersebut mencapai titik tertinggi di titik B dan jarak terjauh di titik C.

a. Waktu untuk Mencapai Titik Tertinggi (Titik B)

Pada saat benda yang melakukan gerak parabola mencapai titik tertinggi, kecepatan benda pada komponen vertikal (sumbu-y) v_y = 0. Persamaannya adalah sebagai berikut.

v_y = v_0y – gt_AB

0 = v₀ sinα – gt_AB

gt_AB = v₀ sinα

$t_{AB}=\frac{v_{0}\: sin\alpha }{g}$ (1–42)

Ketinggian benda di titik tertinggi adalah H = ½ g(t_BC)². Sifat simetri grafik parabola memperlihatkan bahwa waktu yang diperlukan benda untuk mencapai titik tertinggi dari posisi awal (t_AB), sama dengan waktu tempuh benda dari titik tertinggi ke jarak terjauh (t_BC). Dengan demikian, akan diperoleh persamaan :

$t_{AB}=t_{BC}=\frac{v_{0}\: sin\alpha }{g}=\sqrt{\frac{2H}{g}}$ (1–43)

b. Tinggi Maksimum (H )

Tinggi maksimum benda yang melakukan gerak parabola dapat ditentukan dari penurunan Persamaan (1–43) sebagai berikut.

$\frac{v_{0}\: sin\alpha }{g}=\sqrt{\frac{2H}{g}}$

dikuadratkan menjadi :

$H=\frac{v_{0}\: ^{2}\: sin^{2}\alpha }{2g}$ (1–44)

c. Jarak Terjauh (X )

Waktu tempuh untuk mencapai titik terjauh (titik C) sama dengan dua kali waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi (t_AC = 2 t_AB). Jarak terjauh yang dicapai benda pada sumbu-x (dilambangkan dengan X) adalah :

$X=v_{0c}t_{AC}=v_{0}\: \: cos\alpha\: 2\left (\frac{v_{0}\: sin\alpha }{g}\right )=v_{0}\: ^{2}2 \left ( \frac{sin\alpha }{g} \right ) cos\alpha$

Menurut trigonometri, 2 sinα cosα = sin2α sehingga persamaan untuk jarak terjauh yang dapat dicapai benda dapat dituliskan :

$X=\frac{v_{0}\: ^{2}sin2\alpha }{g}$ (1–45)

Perbandingan antara jarak terjauh (X) dan tinggi maksimum (H) akan menghasilkan persamaan :

$X/H=\frac{\left (\frac{v_{0}\: ^{2}sin\alpha cos \alpha }{g} \right )}{\left (\frac{ v_{0}\: ^{2}sin^{2}\alpha}{2g} \right )}=\frac{4}{tan\alpha }$ (1–46)

Catatan Fisika :

dari rumus trigonometri, diketahui : sin2α = 2 sinα cosα

Contoh Soal 10 :

Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 60 m/s dan sudut elevasi 30°. Ketinggian maksimum yang dicapai peluru adalah ....

a. 30 m

b. 45 m

c. 50 m

d. 90 m

e. 100 m

Kunci Jawaban :

Diketahui:

v₀ = 60 m/s

α = 30°

g = 10m/s2

$H=\frac{v_{0}\: ^{2}\: sin^{2}\alpha }{2g}$

$H=\frac{\left ( 60 \right )^{2}sin^{2}\left ( 30^{o} \right )}{\left ( 2 \right )\left ( 10 \right )}$

$H=\frac{\left (3.600 \right )\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}}{20}$

H = 45 m

Contoh Soal 11 :

Dari titik A di tanah, sebuah bola dilemparkan dengan kecepatan awal 20 m/s dan sudut elevasi 37° (sin 37° = 0,6). Jika g = 10 m/s², hitunglah:

a. komponen kecepatan awal dalam arah horizontal dan vertikal,

b. kecepatan bola setelah 0,4 sekon,

c. posisi bola setelah 0,4 sekon,

d. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola, dan

e. jarak lemparan terjauh yang dicapai bola.

Kunci Jawaban :

Diketahui: v₀ = 20 m/s, α = 37°, dan g = 10 m/s².

a. Komponen kecepatan awal

1) Dalam arah horizontal

v_0x = v₀cosα = (20 m/s)(cos 37°)

v_0x= (20 m/s)(0,8) = 16 m/s.

2) Dalam arah vertikal

v_0y = v₀ sinα = (20 m/s)(sin 37°)

v_0y= (20 m/s)(0,6) = 12 m/s.

b. Kecepatan bola setelah 0,4 s (t = 0,4 s)

1) Kecepatan dalam arah horizontal tetap, yaitu

v_x = v_0x = 16 m/s.

2) Kecepatan dalam arah vertikal

v_y = v_0y – gt = 12 m/s – (10 m/s2)(0,4 s) = 8 m/s.

Dengan demikian diperoleh :

$v=\sqrt{v_{x}\: ^{2}+v_{y}\: ^{2}}=\sqrt{16^{2}+8^{2}}=8\sqrt{5}\: m/s$

c. Posisi bola setelah 0,4 s

1) Posisi pada arah horizontal

x = v_xt = (16 m/s)(0,4 s) = 6,4 m.

2) Posisi pada arah vertikal :

$y=v_{oy}t\: -\: \frac{1}{2}gt^{2}$

y = (12 m/s)(0,4 s) – (½)(10 m/s2)(0,4 s)²

y = 5,6 m.

Dengan demikian, posisi bola setelah 0,4 s berada pada koordinat (6,4 m ; 5,6 m).

d. Tinggi maksimum yang dicapai bola

$H=\frac{v_{0}\:^{2}sin^{2}\alpha}{2g}=\frac{\left ( 20 \right )^{2}\left ( 0,6 \right )^{2}}{\left ( 2 \right )\left ( 10 \right )}=7,2\: m$

e. Jarak lemparan terjauh yang dicapai bola

$X=\frac{v_{0}\:^{2}sin^{2}\alpha}{2g}=\frac{2v_{0}\: ^{2}sin\alpha cos\alpha }{g}=\frac{2\left ( 20\: m/s \right )^{2}\left ( 0,6 \right )\left ( 0,8 \right )}{10\: m/s^{2}}$

X = = 38,4 m

Catatan Fisika :

Loncat Batu Pulau Nias

Loncat Batu Pulau Nias (KOMPAS/MOHAMMAD HILMI FAIQ)

Penduduk di Pulau Nias memiliki tradisi unik. Seorang pemuda Nias dewasa atau menginjak dewasa harus mampu meloncati batu yang tingginya sekitar 2 meter, sebagai tanda keberanian, kedewasaan, dan kesatriaan. Gerak yang dilakukan oleh pemuda Nias ini merupakan salah satu contoh gerak parabola yang telah dikenal sejak dulu oleh para penduduk Nias. Dalam menyelesaikan tantangan loncat batu ini, loncatan yang dibuat peloncat harus memiliki kecepatan awal tertentu, tinggi maksimum, dan rentang maksimum, sebagaimana yang telah Anda pelajari dalam materi gerak parabola. (Sumber: www.geocities.com)

Contoh Soal 12 :

Sebuah benda dilemparkan dari puncak sebuah gedung yang tingginya 40 m. Kecepatan awal benda 20 m/s dengan sudut elevasi 30°. Tentukan jarak terjauh dalam arah mendatar yang dapat dicapai benda, dihitung dari dasar gedung.

Kunci Jawaban :

Diketahui: h= 40 m, v₀ = 20 m/s, dan θ = 30°.

Perhatikan gambar.

Untuk menentukan jarak terjauh dalam arah mendatar (X), lebih dahulu Anda hitung waktu yang diperlukan benda untuk bergerak dari A ke B. Waktu ini bisa dihitung dari gerak vertikal ke atas (sumbu-y) sebagai berikut:

v_0y = v₀ sin 30° = (20 m/s) (½) = 10 m/s

$y=v_{oy}t\: -\: \frac{1}{2}gt^{2}$

–40 = 10t – () (10)t²; bagi 5

–8 = 2t – t²

0 = t² – 2t – 8

0 = (t + 2) (t – 4)

Diperoleh :

t = –2 s (tidak digunakan)

t = 4 s

Dari gerak horizontal (sumbu -x), diperoleh

x = v₀t cos 30°

$x=\left ( 20\: m/s \right )\left ( 4s \right )\left ( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )=40\sqrt{3}$

Catatan Fisika :

nilai y diambil harga negatif (–40) karena posisi akhir (titik B) berada di bawah posisi asal (titik A).

Contoh Soal 13 :

Sebuah mobil hendak menyeberangi sebuah parit yang lebarnya 4 m. Perbedaan tinggi antara kedua sisi parit itu adalah 15 cm, seperti ditunjukkan pada gambar. Jika percepatan gravitasi 10 m/s2, berapakah kelajuan (v) minimum agar penyeberangan mobil dapat tepat berlangsung?

Kunci Jawaban :

Perhatikan kembali gambar. Dari gambar diketahui: y = 0,15 m, x = 4 m, v_0x= v, v_0y = 0, dan g = 10 m/s2.

Pada kasus tersebut, gerak mobil merupakan perpaduan antara GLB pada arah mendatar dan GLBB (gerak jatuh bebas) dalam arah vertikal. Oleh karena itu, diperoleh

1) Dari gerak jatuh bebas diperoleh waktu untuk tiba di sisi parit bagian bawah sebagai berikut:

$y=\frac{1}{2}gt^{2}\rightarrow t=\sqrt{\frac{2y}{g}}=\sqrt{\frac{2\left ( 0,15\: m/s \right )}{10\: m/s^{2}}}$

y = 0,173 s.

2) Dari gerak horizontal diperoleh kelajuan v sebagai berikut :

$X=v_{ox}t=vt\rightarrow v=\frac{X}{t}=\frac{4\: m}{0,173\: s}=25\: m/s$

Jadi, kelajuan minimum agar penyeberangan mobil dapat tepat berlangsung adalah v = 23 m/s.

Percobaan Fisika Sederhana 1 :

Membandingkan Waktu Tempuh Benda pada Gerak Jauh Bebas dan Gerak Parabola

Alat dan Bahan

Penggaris plastik
Karton tebal
Dua uang logam (koin)
Selotip

Prosedur

(a) Karton tebal yang telah dilipat. (b) Lipatan karton tebal yang telah dipasangkan pada penggaris dan ditempati 2 keping uang logam. (c) Penggaris yang dilengkungkan sebelum dilepaskan.

Lipatlah karton tebal menjadi seperti huruf ''T'' terbalik dan pasangkan pada penggaris plastik dengan menggunakan selotip. Kemudian, letakkan satu uang logam (koin) di setiap sisi karton. Perhatikanlah gambar.
Lengkungkanlah penggaris plastik, kemudian lepaskan. Koin yang berada di depan akan mengalami gerak parabola, sedangkan koin yang berada di belakang akan mengalami gerak jatuh bebas.
Dengarkanlah bunyi yang timbul saat kedua koin tersebut jatuh dari penggaris plastik. Apakah yang dapat Anda simpulkan?
Diskusikanlah kesimpulan Anda dengan teman sebangku dan guru Fisika Anda.

3. Persamaan Vektor Gerak Parabola

Menurut analisis vektor, persamaan-persamaan gerak parabola dapat dituliskan sebagai berikut. Vektor posisi pada gerak parabola adalah :

r = xi + yj

r = (v₀ cosα t)i + (v₀ sinα t –½ gt 2)j (1–47)

Vektor kecepatan gerak parabola adalah

v = vxi + vy j

v = (v₀ cosα )i + (v₀ sinα – gt 2)j (1–48)

Dalam kehidupan sehari-hari, Anda banyak menjumpai contoh gerak melingkar. Bumi berputar mengelilingi Matahari dalam orbit yang mendekati lingkaran, demikian juga satelit-satelit yang bergerak dalam orbit melingkar mengelilingi Bumi.

Mobil yang bergerak mengitari suatu sudut juga bergerak dalam busur melingkar. Kajian tentang gerak melingkar telah Anda pelajari di Kelas X. Dalam subbab ini, pembahasan gerak melingkar akan ditinjau secara umum menggunakan fungsi turunan dan integral.

Contoh Soal 14 :

Posisi peluru yang ditembakkan di atas bidang datar dengan sudut elevasi tertentu dinyatakan oleh persamaan r = [80ti + (60t – 5t²)j] m. Jika i dan j menyatakan vektor satuan dalam arah x dan y, serta t dalam sekon, tentukanlah:

a. kecepatan awal peluru,

b. sudut elevasi tembakan,

c. kecepatan peluru di titik tertinggi,

d. waktu untuk mencapai jarak maksimum, dan

e. jarak mendatar maksimum tembakan.

Kunci Jawaban :

Diketahui: r [80ti + (60t – 5t²)j] m

a. Kecepatan awal peluru (t = 0),

v = dr/dt = 80i + (60 – 10t)j

Pada t = 0 diperoleh :

v₀ = 80i + 60j

$\left |v_{0} \right |=\sqrt{80^{2}+60^{2}}=100\: m/s$

b. Sudut elevasi tembakan (α )

$tan\alpha =\frac{v_{oy}}{v_{0x}}=\frac{60}{80}=\frac{3}{4}$

α =37°

c. Kecepatan peluru di titik tertinggi v_y = 0 sehingga peluru hanya memiliki komponen kecepatan sumbu-x

v = v_0x = 80 m/s.

d. Waktu untuk mencapai jarak maksimum (X) diperoleh apabila y = 0 (60t – 5t²) = 0 dan diperoleh t = 12 sekon

e. Jarak mendatar maksimum tembakan

X = v_0xt = 80t = (80)(12)= 96 m.

C. Gerak Melingkar

Di kelas X, Anda telah mempelajari bahwa suatu partikel dikatakan bergerak melingkar beraturan, jika partikel tersebut bergerak dalam lintasan berbentuk lingkaran atau busur lingkaran dengan kelajuan konstan. Walaupun kelajuan partikel tersebut tidak berubah, namun partikel tersebut tetap memiliki percepatan. Mengapa demikian? Anda tentu telah memahami bahwa percepatan partikel (perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu) merupakan perubahan kelajuan partikel tersebut. Namun, Anda tidak boleh lupa bahwa kecepatan merupakan besaran vektor. Oleh karena kecepatan merupakan besaran vektor, perubahan arah kecepatan saja (besar kecepatan tetap) akan menimbulkan percepatan, seperti yang terjadi pada gerak melingkar beraturan.

Perhatikanlah Gambar 17. berikut.

Gambar 17. Arah vektor kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar.

Pada gambar tersebut ditunjukkan hubungan antara vektor kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar beraturan. Besar kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar beraturan tidak berubah-ubah, namun arahnya selalu berubah-ubah setiap saat. Arah kecepatan selalu menyinggung lintasan lingkaran (tangensial terhadap lingkaran), sedangkan percepatan selalu mengarah ke pusat lingkaran sehingga disebut percepatan sentripetal.

Perhatikanlah Gambar 18.

Partikel P bergerak melingkar berlawanan arah jarum jam. Vektor kecepatannya (v) selalu berubah-ubah terhadap waktu, walaupun besar vektor kecepatannya tetap

Gambar 18. Partikel P bergerak melingkar berlawanan arah jarum jam. Vektor kecepatannya (v) selalu berubah-ubah terhadap waktu, walaupun besar vektor kecepatannya tetap

Suatu partikel yang bergerak melingkar beraturan di titik P dengan jari-jari lingkaran r. Oleh karena arah kecepatan selalu tegak lurus jari-jari r (tangensial terhadap lingkaran), sudut θ yang dibentuk oleh v terhadap garis vertikal di titik P akan sama besar dengan sudut θ yang dibentuk oleh jari-jari r terhadap sumbu-x. Vektor kecepatan di titik P tersebut dapat diuraikan menjadi vektor komponennya menurut sumbu-x dan sumbu-y, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 19 berikut.

Gambar 19. Kecepatan v dan komponen vektornya menurut sumbu-x dan sumbu-y.

Dengan demikian, dapat dituliskan :

v = v_xi + v_yj (1–49)

atau

v= (–v sinθ )i + (v cosθ )j (1–50)

Perhatikan kembali Gambar 18. Dari gambar tersebut, Anda dapat mengganti sinθ dengan y_p r dan cosθ dengan x_p/r Persamaan (1–50) dapat ditulis menjadi :

$v\left ( -\frac{vy_{p}}{r} \right )i\: +\: \left ( \frac{vx_{p}}{r} \right )j$ (1–51)

Percepatan gerak melingkar beraturan dapat ditentukan dari turunan pertama Persamaan (1–51) sebagai berikut.

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d\left ( \frac{vy_{p}}{r} \right )i+\left ( \frac{vx_{p}}{r} \right )j}{dt}$

$a=\frac{d\left ( -\frac{v}{r}\frac{vy_{p}}{r} \right )i+\left (-\frac{v}{r} \frac{vx_{p}}{r} \right )j}{dt}$ (1–52)

Oleh karena :

$\frac{dy_{p}}{dt}=v_{y}$

dan.

$\frac{dx_{p}}{dt}=v_{x}$

serta vx = -v sinθ dan vy = -v cosθ maka Persamaan (1–52) dapat ditulis menjadi :

$a=\frac{\left ( -\frac{v^{2}}{r}cos\theta \right )i+\left (-\frac{v^{2}}{r} sin\theta \right )j}{dt}$ (1–53)

Vektor percepatan dan komponen vektornya menurut sumbu-x dan sumbu-y ditunjukkan oleh Gambar 20.

Gambar 20. Percepatan a dan komponen vektornya menurut sumbu-x dan sumbu-y.

Berdasarkan uraian gambar tersebut, dapat ditentukan besar percepatan sentripetal melalui persamaan berikut.

$a=\sqrt{a_{x}\: ^{2}+a_{y}\: ^{2}}=\frac{v^{2}}{r}\sqrt{\left ( cos\theta \right )^{2}+\left ( sin\theta \right )^{2}}$

$a=\frac{v^{2}}{r}$

Sedangkan, arah vektor percepatan, φ , dapat ditentukan dari persamaan :

$tan\phi =\frac{a_{y}}{a_{x}}=\frac{-\left ( \frac{v^{2}}{r} \right )sin\theta }{-\left ( \frac{v^{2}}{r} \right )cos\theta }$

tanφ = tanθ (1–55)

Dari Persamaan (1–54) dan Persamaan (1–55), terbukti bahwa percepatan sentripetal a = v²/r dan arahnya selalu menuju pusat lingkaran (φ θ = ).

Contoh Soal 15 :

Berapakah percepatan sentripetal, dalam satuan g, yang dirasakan oleh seorang pilot yang menerbangkan pesawatnya dengan kelajuan v = 2.500 km/jam dalam lintasan lingkaran berjari-jari r = 5,8 km?

Kunci Jawaban :

Diketahui: v = 2.500 km/jam dan r = 5,8 km.

Berdasarkan persamaan percepatan sentripetal, didapatkan :

$a=\frac{v^{2}}{r}=\frac{\left ( 694\: m/s^{2} \right )}{5.800\: m}=83\: m/s^{2}=8,5\: g$

Contoh Soal 16 :

Sebuah bola yang terikat bergerak dalam lingkaran horizontal yang berjari-jari 2 m. Bola membuat satu putaran dalam 3 s. Berapakah percepatan sentripetal bola tersebut?

Kunci Jawaban :

Diketahui: r = 2 m dan T = 3 s.

Untuk menentukan percepatan sentripetal, tentukan kecepatan linear terlebih dahulu dengan cara membagi panjang lintasan dengan waktu yang dibutuhkan untuk menempuh lintasan tersebut. Dalam kasus ini panjang lintasannya berupa keliling lingkaran dengan jari-jari r.

$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\left ( 2\: m \right )}{3\: s}$

v = 4,19 m/s.

Jadi, besar percepatan sentripetal bola adalah :

$a=\frac{v^{2}}{r}=\frac{\left ( 4,19\: m/s \right )^{2}}{2\: m}$

a = 8,78 m/s 0,9 g.

Contoh Soal 17 :

Sebuah mobil mengelilingi sebuah kurva berjari-jari 30 m. Jika percepatan sentripetal maksimum yang dapat diberikan oleh gesekan roda mobil adalah 5 m/s2, berapakah kelajuan maksimum mobil tersebut dalam km/jam?

Kunci Jawaban :

Diketahui: r = 30 m dan v = 5 m/s².

$a=\frac{v^{2}}{r}$

$v_{maks}=\sqrt{ra_{maks}}$

$v_{maks}=\sqrt{\left ( 30\: m \right )\left ( 5\: m/s^{2} \right )}$

v_maks = 12,2 m/s

Jadi, kelajuan maksimum mobil dalam satuan km/jam adalah :

$\left ( 12,2\: m/s \right )\left ( \frac{3.600\: s}{1\: jam} \right )\left ( \frac{1\: km}{1.000\: m} \right )=44\: km/jam$

Contoh Soal 18 :

Untuk menyalurkan bantuan kemanusiaan, sebuah pesawat kargo harus menjatuhkan kapsul besar berparasut kepada serombongan pengungsi. Jika hambatan udara sebelum parasut mengembang (yakni setelah 5 sekon dijatuhkan) diabaikan, ketinggian terbang minimal pesawat agar parasut kapsul telah mengembang di ketinggian 100 m sebelum mencapai permukaan adalah .... (g = 10 m/s²)

a. 185 m

b. 200 m

c. 215 m

d. 225 m

e 250 m

Kunci Jawaban :

Diketahui: t = 5 s, h_p = 100 m, dan g = 10 m/s².

Selisih ketinggian sebelum parasut mengembang (t = 5 s):

$h_{t}=v_{oy}t+\frac{1}{2}gt^{2}\: \: \: ;\: \: \: v_{oy}=0$

$h_{t}=\frac{1}{2}gt^{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( 10\: m/s^{2} \right )\left ( 5\: s \right )^{2}$

ht = 125 m

Ketinggian minimal pesawat:

h_min = h_t + h_p

h_min = 125 m + 100 m

h_min = 225 m

Jawab: d

Rangkuman :

1. Persamaan gerak adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara posisi, kecepatan, percepatan, dan waktu. Posisi suatu partikel pada sebuah bidang dapat dinyatakan dalam bentuk vektor posisi, yaitu

r = xi + yj

2. Kecepatan adalah perubahan posisi (perpindahan) terhadap waktu sehingga dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi posisi terhadap waktu.

v = dr/dt

3. Percepatan merupakan perubahan kecepatan terhadap waktu sehingga dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi posisi, atau turunan kedua fungsi posisi terhadap waktu :

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}r}{dt}$

4. Gerak parabola adalah gerak gabungan antara gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB)

a. Persamaan pada arah sumbu-x:

v_x = v₀ cosα

x = v₀ cosα t

b. Persamaan pada arah sumbu-y:

v_y = v₀ sinα – gt

y = v₀ sinα t –½ gt²

c. Waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi :

$t=v_{0}\frac{sin\alpha }{g}=\sqrt{\frac{2g}{H}}$

d. Waktu yang diperlukan untuk mencapai titik terjauh :

$t=\frac{2v_{0}sin\alpha}{g}$

e. Titik tertinggi yang dapat dicapai benda :

$H=\frac{v_{0}\: ^{2}\: sin^{2}\alpha }{2g}$

f. Titik terjauh yang dapat dicapai benda :

$X=\frac{v_{0}\: ^{2}sin2\alpha }{g}$

5. Gerak melingkar adalah gerak benda pada suatu lintasan yang berbentuk lingkaran.

a. Kecepatan benda yang bergerak melingkar dinyatakan dengan persamaan

v = v_xi + v_yj

dan besar kecepatannya dinyatakan dengan :

$\left | v \right |=\sqrt{v_{x}\: ^{2}+v_{y}\: ^{2}}$

b. Percepatan sentripetal adalah percepatan gerak benda saat melakukan gerak melingkar yang arahnya selalu menuju pusat lingkaran.

$a=\frac{v^{2}}{r}$

Anda sekarang sudah mengetahui Persamaan Gerak Benda Dua Dimensi, Gerak Parabola, Gerak Melingkar, Vektor, Kecepatan, dan Percepatan. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Saripudin, A., D. Rustiawan K., dan A. Suganda. 2009. Praktis Belajar Fisika 1 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah Program Ilmu Pengetahuan Alam. Pusat Perbukuan Departemen Nasional, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 234.

pertanian budidaya

Jumat, 01 Februari 2013

Persamaan Gerak Benda Dua Dimensi, Parabola, Melingkar, Vektor, Kecepatan, Percepatan

Tidak ada komentar:

Posting Komentar